妈咪说知识就是力量大家好我是妈咪叔，上期咱们从感性层面理解了一下什么是比特币，接下来咱们再来从理性的角度重新认识一下，比特币到底是如何运作的呢？
就是我们来研究它的逻辑，上期讲完了之后受到了一些比特币用户的强烈抗议，你怎么能说我们的比特币是游戏币呢？
很好这就是针对一件事儿不能达成共识，共识也是区块链里，或者说是分布式系统当中一个很重要的概念，当然和通常理解的共识还不太一样，那先问个小问题，你觉得在所有学科当中最容易达成共识的是什么呢？
肯定不是经济学了经济学有很多学派的，也不是物理是数学，1+1=2全世界都认可，那今天咱们就来看数学是如何应用在比特币当中的，今天我们先来说密码学的部分好开始正题，我们说你可以把比特币系统当做一款游戏，那游戏肯定需要有客户端，这个客户端可以有很多版本，比如说官方提供的也可以由一些第三方公司来提供，我们如果在官网下载一个那就是长这样的，这就是官方的比特币钱包，而且不用你自己注册账号，只要客户端安装之后它就会自动给你生成三个东西，私钥、公钥和地址，其中私钥和公钥一般情况你自己是看不到的，在系统中会以一个wallet.dat的文件体现，地址是比较开放的地址就相当于你的银行卡号，你让别人给你转账你肯定得把账号告诉他吧，而私钥就相当于是每个人的密码，有了密码就代表你拥有了这个账号的控制权，很好理解对吧，可是比特币的私钥这个密码是不允许用户修改的，但是你可以生成很多个，而且它和你的账号之间还会存在一些关联，简单说就是通过私钥生成公钥再通过公钥生成地址，但是注意这个过程是单向的想要反推回去做不到，那咱们就先来说一下私钥、公钥和地址是如何产生的呢？
首先系统会为你随机生成一个256位的二进制数，比如说这个，注意这是随机生成的，这一串二进制数就是你的私钥一共是32个字节，那如果我们把它转换成16进制就长这样，私钥这就有了，256位二进制数可以表示多少个数呢？
2^256个数对吧，换算成十进制有多少呢？
大概是10^77这么多天文数字，所以如果选用好一点的随机数发生器，完全不用担心私钥会重复的问题，那公钥是如何产生的呢？
公钥就不是随机生成的了，而是在这个私钥的基础之上通过算法得来的，这个加密算法叫做ECDSA椭圆曲线数字签名算法，具体怎么算咱们来简单说一下，说有这样一个方程y^2=x^3+ax+b，其中a、b为实数且-16(4a^3+27b^2)≠0，这个就是判别式△，这个方程的图像就叫做椭圆曲线Ellipticcurve，它属于魏尔斯特拉斯方程，根据系数a、b取值的不同函数图像大致是长这样的，虽然叫椭圆曲线但是它明显不是个椭圆，利用这个曲线来加密就叫做椭圆曲线密码学，EllipticCurveCryptography简称ECC，比特币当中使用的具体的算法就是ECDSA属于ECC，具体怎么加密呢？
其实就是我随机在这个图像上选取一个点，这个点有个坐标吧比如说点A(x,y)，然后把我的私钥k分别和x、y相乘得到kx和ky，再把kx和ky拼接在一起就行了，注意这不是加法而是拼接合起来，得到的结果就是公钥假设是p，当然实际情况不会这么简单，这里解释两点第一，刚才我们说的相乘不是通常意义上的相乘，而是新定义的乘法叫做椭圆乘法，什么意思呢，k乘以点A就相当于是有k个A点相加对吧，那我们就先要定义点与点的加法，假设这是点A这是点B，我们定义A+B等于AB的连线交曲线于另一点这是点C，还不行还要做出点C沿x轴的对称点，这个点就是A+B了，很奇怪的算法是吧，实际上这就是定义了一个阿贝尔群，这块各位不用管了，那如果是A+A呢？
那就没有连线了，没关系那就用A点的切线交曲线于另外一点，然后再做x轴的对称点这点就是A+A，如果再加一个A呢？
这回就有连线了就是这个交点的对称点，这个点就是A+A+A也就是3A以此类推，那kA什么意思呢？
就是要重复上述操作k次，得到的结果就构成了公钥p，所以公钥其实就是一个特定椭圆曲线上的坐标点，那有同学可能会好奇，哇塞重复k次这个k可是私钥啊，重复这么多次电脑会很快给出结果吗？
会为什么，因为根本不用重复k次，看这这个点是2A对吧，我不用再加A去求3A，我可以直接做切线，这个交点的对称点是什么啊？
这就是4A，然后再做切线就会得到8A然后16A，你看指数增长，那k最大也就是2^256呗，所以最多两百多次就可以得到kA的结果，能想明白不？
那为什么从公钥不能推出私钥呢？
因为最终你得到的公钥只是一个点，至于这个点的来源你是不知道的可以有很多，我们之前说过这类函数叫什么啊？
叫Trapdoorfunction活板门函数就是单向函数，包括之前说过的RSA算法，ECC算法其实要比RSA算法来的更快而且更安全，那好第二点要解释的，这个图像上明显有无数个点啊，那我如果选择一个很简单的点和私钥相乘，得到的公钥就会很鸡肋，所以我们要对这个点提出一些要求，不能太简单，这个要求是把这条椭圆曲线定义在某个质数阶的有限域上，这块说起来有点复杂各位了解一下就行了咱们快速带过，简单说就是把这个椭圆曲线给打散了，不是连续的曲线了而是一些离散的点，比如说这是一个方格，这个方格的长度就是阶数也就是这个质数P，然后这里面有很多离散的满足要求的点，但是计算规则是一样的，点A+点B还是画出连线交第三点C然后再做对称点，这就是A+B，唯独不同的是，如果AB的连线走到这还是没有交点怎么办呢？
不能画出去了这是个有限域，没关系就从下面的对称点继续往上画直到相交第三点为止，能大概明白什么意思吧，其中这个质数P越大越好越安全，这样我们以比特币为例，比特币使用的是secp256k1标准，所谓标准就是说我要给你规定具体用哪个椭圆曲线，也就是给出系数a、b的具体值，还有这个大质数具体是多少，以及满足以上要求的一个基准点G的坐标，什么意思呢这个标准中规定a=0b=7，所以比特币中使用的椭圆曲线方程就是y^2=x^3+7，这个函数图像在实数上的图像长这样，可是这个不能用因为需要在一个质数阶的有限域内，标准中规定这个大质数P=2^256-2^32-2^9-2^8-2^7-2^6-2^4-2^0，用16进制表示它长这样，这个数是一个质数而且显然它很大，所以呢这个曲线就变成了这么多阶的方格子中的离散点，然后在这些点中选取一个基准点G点，这个G点就可以用来计算公钥了，同样在secp256k1标准中也是公布出来的，G点的具体坐标是这也是16进制的表示，这是横坐标这是纵坐标，显然它是一个很大很大的点，注意所有人使用的G点都是一样的，只是每个人的私钥不同而已这是写在代码里的，这样一相乘就得到了自己的公钥p了，其中x坐标是32个字节y坐标也是32个字节，所以公钥有多少字节呢？
是65个字节多出的一个字节是标识位0x04，主要说明这是16进制，好了说了一大堆这个私钥和公钥可以干啥呢？
就是用来非对称加密的啥叫非对称啊，就是指加密和解密的钥匙不是同一个，这是相对于对称加密来说的，比如说Alice想要发给Bob一个消息m，双方规定密码就是+1操作解密就是-1操作，那Alice只需要计算出m+1=n，然后把n发送给Bob，Bob收到n之后用n-1就会得到m了，这就是对称加密，那非对称加密怎么实现呢？
咱们回忆一下，私钥K是怎么来的啊？
随机来的，公钥P是怎么来的啊？
是私钥k乘以一个G点来的，这个G是约定好的你可以把它当做一个常数，谁都可以知道没关系，重点就在于这个式子了，这个式子有两个特点直接决定了非对称加密的两大用途，咱们来看哪两个特点，第一如果知道P值G还是常数那也很难求得k值，好理解吧单向函数嘛，第二虽然k值难求，不过对于给定的k值你可以在多项式时间内进行验证，说白了很好验证，啥意思啊这不就是一个NP问题嘛，比如说咱们之前说过的，应用在RSA当中的大数质因数分解问题，问319是哪两个质数的乘积？
这就很难算，但是如果我问29*11等不等于319啊？
这就很好验证，所以对应具体的两个应用就是，第一数据加密，原理是这样，现在Alice有自己的一对公私钥Ka和Pa，Bob也有自己的一对Kb和Pb，公钥是对外公开的私钥是不能告诉别人的，所以Alice可以知道这样一个数，就是自己的私钥Ka乘以Bob的公钥Pb，同理Bob也可以知道自己的私钥Kb乘以Alice的公钥Pa，那咱们来看这两个分别等于什么，（上面等于Ka*Kb*G），（下面等于Kb*Ka*G），括号打开这两个等式实际上是相等的，那我们就可以把它看做是一个针对于两个人的对称秘钥了，假设是key，那双方不管传输什么都和万能key去做可逆运算就可以了，能明白不？
所以为什么说A加密需要B的公钥呢？
同理B加密要用到A的公钥呢？
就是这个式子决定的，第二个作用就是所谓的数据签名，就是我要证明我说的话是我说的怎么证明呢，比如说我要对数据m进行签名，以代表我对m的认可，那我就可以用m乘以我的私钥k，得到一个结果假设是N，这个N就叫做签名数据，对了注意啊咱们刚才说的乘法都表示群乘法啊，你就把它当做一种运算就行了，那这个运算和乘以点G是相同的，也是不可逆的单向的，然后别人想要验证这句话m是不是我说的，那就用m乘以我的公钥P，它应该等于m乘以G再乘以K，其中G是常数，mK就是N我发布的签名啊，所以你可以很快的验证这两个结果是不是相等的，这就是数字签名的大致原理，所以比特币当中的公私钥为什么要有关联，就是因为要进行非对称加密，好下面来说地址，比特币的地址是由公钥经过两次哈希运算得到的，什么叫哈希运算呢？
学过编程的同学肯定不陌生了，也叫做散列函数Hashfunction，它的功能是可以给任意长度的数据生成指定长度的字符串，注意是任意长度的数据，比如说在比特币中广泛使用的SHA-256函数，这是第二代哈希函数（SHA-2）其中的一个，这个函数不管你放进去什么，都会输出一个长度为256个bit的字符串，一般叫做摘要或者叫哈希值，哈希函数具有以下这么几个特点，首先它的计算速度比较快，即便你把莎士比亚全集都放进去，也会很快的生成一个摘要，第二确定性，就是说只要你输入的内容是相同的，那么经过同一个哈希运算不管多少次，都会得到相同的结果，这是必须的，要是每次结果都不同那不就是随机数了么，那就是在逗我们玩了，与之相对的一个特点就是随机性，不过这个随机性指的是，只要两次输入的内容稍稍有一点不同，那么结果就会面目全非，这几个属性先来直观的给不了解编程的同学演示一下，什么意思，这段代码就是对于SHA-256函数的执行，现在是即将执行三个SHA-256函数，看这个引号里面就是我输入的内容，现在这三个输入都是相同的，我们来执行看一下，可以看到只要内容相同结果就是相同的，这就是确定性，那我把其中一个数据改动一点点，比如说我把这个大T改成小写的t，这个改动很小吧那咱们再来执行一下，你看这个结果就变得面目全非了，但一定是256个比特，这个输入里面放什么都可以多长都可以，明白了吧，这个特点可以干啥呢？
用来生成私钥私钥就是256个比特啊，其实现在很多客户端的随机私钥就是这么生成的，先是生成一个大随机数然后再取哈希值，那就有个问题了，理论上输入可以是无限大，但是输出却最多只有2^256个数，因为一共就256位，那会不会出现两个不同的输入，却得到一个相同哈希值的情况呢？
会而且是几乎必然会，这种情况就叫做哈希碰撞，所以一个好的哈希函数还需要满足一个特点叫做防碰撞性，说的是不存在一个快速的有效的办法，可以找到两个不同的输入却得到相同的哈希值，说白了有生之年每秒钟都在尝试哈希碰撞，那概率也是微乎其微，另外一个特点是单向性，很简单就是说从输入可以得到输出，但是从输出并不能得到输入，一定得这样要不然会怎么样啊？
那就相当于是找到了一个最强压缩方案了，因为任何数据不管多大进去之后都变成256个比特了，然后还能原封不动的还原回去，这不就是压缩和解压的过程嘛不存在的，所以哈希运算本身和加密没啥关系，和非对称加密就更没关系了，比特币的非对称加密就是由刚才说的ECDSA决定的，你看加密是为了啥？
是为了更安全的解密解密才是重点，就是你得还能还原回去，你的加密方案再好天花乱坠的，但是谁都解不开连你自己都解不开，那就不叫加密了那叫数据玩丢了，而哈希函数恰恰不具备这个特点所以它不能加密，那为什么比特币系统当中还会使用SHA-256函数呢？
因为虽然它不能加密，但是我可以通过哈希函数知道某个数据是否被篡改了，比如说之前流行的第一代哈希函数SHA-1当中的MD5算法，就是你可能见过某个软件的官网上会标注一个md5值，这个值就是对官方正版软件的一个摘要，如果你从未知来源下载了同一个软件，那么你就可以查看一下这个软件的md5，然后和官方给出的md5对比一下，就知道你下载的软件是否被篡改过了或者被写入木马了，这个方案挺好的对吧？
为啥不用了呢？
因为md5在04年的时候被我国的王小云教授破解了，09年又被中科院的冯登国、北大的谢涛教授再次破解，就是复杂度又降低了所以现在基本上被淘汰了，但是不用担心SHA-256函数目前还是安全的，怎么说到这来了，那咱们接着说公钥是如何生成地址的，首先就是对公钥进行SHA-256运算，然后将得到的结果再次进行一个哈希运算，叫做RIPEMD-160这也是一个哈希函数，只不过生成的摘要是160个比特的也就是20个字节，这个东西其实就是地址了，但是你可能会发现这串数字，好像和通常大家见到过的比特币地址不太一样，一般都是1开头的，对因为还差最后一道工序就是编码，所谓编码就是把一种格式转换成另外一种格式的过程，比如说我要把二进制转换成16进制，或者转换成10进制，再比如说计算机底层执行的都是一堆二进制1010，为什么我们看到的却是各种文字或者是图片甚至是视频呢？
就是因为经过了各种编码的过程，原理很简单这就是一个对称加密的过程，逆操作就叫做解码，举个例子，比如说BASE64编码，64就是说我想用64个字符来表示所有所有的信息，可以那就把想用的64个字符都列出来，再标上相应的序号，比如说有大小写英文字母一共52个，再加上0-910个数字一共是62个，还差两个那就用+和/来补充，然后有一串二进制数010011010110000101101110，怎么表示成我规定的这些字符呢？
一共64个字符，多少个比特可以表示64种状态呢？
2^66个比特就够了对吧，所以我就选取前6个bits，它对应了十进制的19，然后查一下这个顺序19是T，后面6个比特是22对应的是W，再后面6个是5对应的是F，最后6个是46对应的是u，所以这串二进制数用base64编码来表示就是TWFu，如果用英文的ASCII码编码这串数字表示什么呢？
ASCII码是8位一编，这8位对应十进制的77对应的ASCII码是M，这8位是97对应了小写的a，最后8位是110对应了小写的n，这就是编码，比特币当中使用的编码是BASE58，也就是说经过BASE58编码后的私钥和地址，最多只能出现58种字符这是中本聪自创的编码，哪58个字符呢？
就是在Base64的基础上，首先把+/这哥俩删了，然后不要数字0、大写字母O，大写字母I和小写字母l”，可能都是中本聪看着不顺眼的剩下的一共58个，可是这会出现问题，我如果用6个比特来编码就一定有不能表示的数据，如果用5个比特一编码就一定会有部分字符用不到，能想明白不？
比如说有个二进制是111111，这是多少啊？
十进制的63对吧，可是我一共就58个字符啊没法表示了，怎么办呢？
这个解决办法很巧妙，其实就是我不管你这一串数据是什么有多大，我统统转换成58进制然后我直接查表就行了，能明白不？
当然这是纯数学上的解决办法，实际在代码当中会有一些出入，这样我们通过Base58编码，就可以得到一般情况下看到的地址了，为什么大部分地址的开头都是1呢？
同样是因为在公钥的最前面加入了一个标识符，其实后面还要再加上一个双哈希的验证，这块咱们就不过多说了原理都一样，得到的这种格式叫做WIFWalletimportformat，钱包导入格式，好至此关于比特币的私钥、公钥和地址，在数学层面的产生方式咱们就说完了，其实讲比特币不是重点，重点咱们是为了说数学和密码学的一些原理，就像开篇说的有朋友表示抗议，可以，这就像是木匠打了一套家具，我只是木匠的小学徒，我是为了告诉大家这个家具是怎么打的这是一堆木头，可是你非说你胡说这明明是艺术品，那我也没办法可能我确实也没那个审美，好了今天就到这，我是妈咪叔一个较真儿的理工男，下期见拜拜。